Einheitskreis ... ist keine Zauberei!

Das Arbeitsheft ist vorgesehen zum Einsatz in der Sekundarstufe in den Klassen 9 bis 13. die Arbeitsblätter enthalten zahlreiche spannende Aufgabenstellungen zur Wiederholung, Stärkung und Festigung vorhandenen mathematischen Wissens. Die Kopiervorlagen sind optimal einsetzbar zum selbstständigen Arbeiten und mit Lösungen - auch zur Selbstkontrolle - ausgestattet.

Weil der Einheitskreis für die höhere Mathematik, aber auch Physik und Technik von grundlegender Bedeutung ist, sollte man möglichst sicher im Umgang mit im Einheitskreis verborgenen Zusammenhängen werden. 

Wenn man bei den trigonometrischen Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck, also den Seitenverhältnissen Sinus, Kosinus, Tangens und Cotangens nur Nenner mit dem Wert 1 zulässt, gelangt man direkt zu gewissen Streckenlängen am Einheitskreis, einem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Besonders ergiebig ist dies nun für Sinus und Kosinus, weil hier diese Strecken sich genau zu Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis zusammensetzen. 

Um den symmetrischen Aufbau des Einheitskreises zu verstehen, muss man auch mit Winkeln über die 360°-Grenze hinaus rechnen können. Das wird ausführlich anhand eines Pfeilmodells erarbeitet. Man soll sich im Einheitskreis sicher fühlen, auch das Bogenmaß ergibt sich dabei in natürlicher Weise.

Wichtig zu sehen ist, dass man ausgehend von der Geometrie durch die Interpretation von Kosinus/Sinus als Koordinaten nun bei reellen – eben auch negativen – Zahlen gelandet ist. Solche mathematischen Zusammenhänge sind ganz wesentlich: Nun kommt zum rechtwinkligen Dreieck der auf dem Einheitskreis rotierende Punkt hinzu. Es soll zu diesem Zeitpunkt das Aha-Erlebnis gelingen, dass sich die vier Achsenschnittpunkte des Einheitskreises mit den Sinus-/Kosinuswerten 0, 1, –1 ganz problemlos einfügen.

Ein unangenehmes Thema sind die vielen einander sehr ähnlichen Gleichungen für gewisse allgemeine Sinus-/Kosinuswerte. Da man diese Gleichungen leicht miteinander verwechseln kann, wird man sich mit auswendig Lernen nur den Spaß verderben, den man daran haben könnte. Nämlich Spaß durch die – immer wieder, aber mit neuen Erfolgserlebnissen zu übende – anschauliche Vorstellung über die im Einheitskreis enthaltenen Dreh- und Spiegelsymmetrien, welche den Gleichungen entsprechen. 

Für dieses anschauliche Begreifen sind einige spielerische Aufgaben enthalten. Als Hilfe bei der Orientierung wird auch auf das intuitive Wissen über die analoge Uhr und den Kompass zugegriffen. Genauso wird bei „Roboter-Aufgaben“ das interessante Gebiet Algorithmen aus der Informatik genutzt. 

Inhalt:

• Trigonometrische Winkelbeziehungen im Dreieck – Sinus, Kosinus, Tangens und Cotangens
• Winkelbeziehungen im 1. Quadranten des Einheitskreises
• Addition von positiven und negativen Winkeln geometrisch – Kommutativgesetz
• Überschreiten von 360° – im Einheitskreis als identisch angesehene Winkel – Vielfaches eines Winkels
• Computer MIN knackt Code mit Algorithmus zur Vielfachenbildung der Winkel
• Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt – Domino mit intuitivem Wissen über Uhr und Kompass
• Übertragung auf den gesamten Einheitskreis – positive und negative Koordinaten von Punkten
• Entstehung der Sinus- und Kosinuskurve – Rotation eines Punktes auf dem Einheitskreis
• Schildkröten-Grafik – Einprägen einfacher exakter Sinus-/Kosinuswerte
• Roboter-Turner Theo nutzt Symmetrien innerhalb und zwischen Sinus- und Kosinuskurve
• 90°-Drehung für beliebige Winkel im Einheitskreis – ausgedrückt durch Gleichungen
• 180°-Drehung für beliebige Winkel im Einheitskreis – ausgedrückt durch Gleichungen
• 90°-Drehung für beliebige Winkel im Einheitskreis – begründet mit kongruenten Dreiecken
• Achsenspiegelungen von Winkeln – ausgedrückt in Gleichungen – begründet mit kongruenten Dreiecken
• Schwierige Flussüberquerung auf Brettern – nach Gleichungen für beliebige Winkel suchen
• Ausdrücke auf Gleichheit überprüfen
• Riesenräder
• Sinuswerte ohne Taschenrechner und ohne Tabellen bestimmen

Mit Lösungen - auch zur Selbstkontrolle.